Many studies on the astrolabe were written during the period from the ninth to the eleventh century, but very few of them related to projection, i.e., to the geometrical transformation underlying the design of the instrument. Among those that did, the treatise entitled The Art of the Astrolabe, written in the tenth century by Abū Sahl al-Qūhī, represents a particulary important phase in the history of geometry. This work recently appeared in a critical edition with translation and commentary by Roshdi (...) Rashed. It contains the earliest known theory of the projection of the sphere, a theory developed in a commentary written by a contemporary mathematician, Ibn Sahl. Following R. Rashed, the present article offers here a thorough mathematical analysis of al-Qūhī's treatise and of the commentary by Ibn Sahl. It also presents, with commentary, an account of a contemporary treatise on the projection of the sphere, written by al-[Sdotu]āġānī. The latter work is concerned with the conical projection of a sphere on a plane, from a point on an axis of the sphere, other than its pole. The author consciously avoids the case of stereographic projection, but he studies all the other cases of conical projection which, if we employ the terms of al-Qūhī's theory, are compatible with the movement of the instrument. These three texts provide clear evidence of the emergence, during the second half of the tenth century, of a new field of study, that of projective geometry. (shrink)

Nous analysons le développement mathématique et la signification épistémologique du mouvement de géométrisation de la physique théorique, à partir des travaux fondamentaux d’E. Cartan et de H. Weyl jusqu’aux théories de jauge non-abéliennes récentes. Le principal propos de cet article est d'étudier ces développements qui ont été inspirés par les tentatives de résoudre l'un des problèmes centraux de la physique théorique au siècle dernier, c’est-à-dire comment arriver à concilier la relativité générale et la théorie quantique des champs dans un cadre (...) théorique unitaire du monde physique. Ces développements ont produit un changement conceptuel profond concernant tout particulièrement la façon de concevoir les rapports entre structures mathématiques et phénomènes physiques. Nous mettons l’accent sur les points suivants : plutôt que de simplement s’appliquer aux phénomènes, les mathématiques sont impliquées dans leur constitution, autrement dit, les phénomènes sont autant d’effets qui émergent de la structure géométrique de l’espace-temps ; la structure géométrique et topologique de l’espace-temps est à l’origine de la dynamique de ce dernier; les symétries « internes » dictent les différentes interactions entre forces et entre particules ; l’invariance de jauge est un principe « universel » régissant les forces fondamentales et les interactions entre les champs de matière. (shrink)

Cet article explore la signification de l’espace comme un « lieu pratiqué » selon la notion reprise à Michel de Certeau, en examinant la construction d’un gymnase et ses effets sur les relations sociales et les réseaux disciplinaires. Tout comme le laboratoire ou le théâtre, le gymnase a été spécifiquement pensé pour permettre certaines actions et en témoigner, en reflétant des conceptions de l’entraînement et de l’éducation corporelle. Ses divers agencements de l’espace y favorisent une incorporation de la race, du (...) lieu, du genre et de l’identité. Le War Memorial Gymnasium de l’Université de Colombie britannique dans l’Ouest du Canada, construit en 1851, est utilisé pour illustrer la manière dont, sous des formes complexes, les géométries du pouvoir – ces multiples configurations de l’espace et des relations sociales à l’intérieur et autour du gymnase – produisent dans ses murs une culture didactique et sportive aux enjeux véritablement stratégiques et tactiques, qui active et articule les division de genre. (shrink)

L’emploi par Poincaré de la notion de convention au sujet des hypothèses géométriques signale un déplacement par rapport aux problématiques traditionnelles. La découverte des géométries non euclidiennes montre qu’il n’y a pas de cadre spatial unique ; plusieurs systèmes sont possibles. On affirme ainsi l’existence d’un aspect essentiel de la connaissance qui ne dérive pas des faits et ne relève ni de l’inné ni de l’intuition. L’introduction de la notion de convention, dont il s’agit de prendre la mesure, ouvre la (...) voie à une prise en compte des facteurs décisionnels en science. Nous nous proposons, dans cet article, d’analyser l’argumentation de Poincaré en reconstruisant sa position face aux doctrines de Kant et de Mill.By understanding geometrical hypotheses as conventions, Poincaré significantly alters the traditional philosophical discussion of space. The discovery of non-Euclidean geometries proves that there is not a single spatial framework ; several systems are possible. Thus, there is an essential feature of knowledge that derives neither from empirical facts nor from intuition or innate understanding. The introduction of the notion of convention, whose significance is at issue here, provides a way of understanding the element of free choice in science. This article aims at analyzing Poincaré’s reasoning, by contrasting his viewpoint with that of Kant and Mill. (shrink)

RésuméDans cet article, l'auteur discute les principes qui ont guidé M. Gonseth dans ses recherches sur la géométrie et le problème de l'espace. M. Gonseth défend la thèse selon laquelle avant de tenter de résoudre le problème de la géométrie, on doit disposer des facultés d'intuition, de déduction et d'une connaissance expérimentale de l'espace.M. Tummers a publié trois brochures sur la géométrie: 1. De Opbouw der Meetkunde ; 2. De Meetkunde en de Ervaring ; 3. Wijsgerige Verantwoording (...) van het Paralelenpostulaat . Il défend la thèse selon laquelle une science dont toute expérience serait bannie ne pourrait pas exister. Dans la troisième de ces brochures, il montre que la proposition des parallèles n'est pas une thèse qui peut ětre déduite, mais un véritable postulat. L'auteur suppose dans sa recherche — exactement comme M. Gonseth — l'expérience ainsi que les facultés d'intuition et de déduction.L'auteur conclut que M. Gonseth, lorsqu'il montre que l'expérience et les facultés d'intuition et de déduction sont indispensables pour la construction de la géométrie, a prouvé une thèse d'une importance fondamentale. L'auteur essaye de construire une géométrie abstraite, mais dirigée par l'expérience, alors que Hilbert introduit une géométrie entièrement abstraite, excluant l'expérience comme instrument de contrǒle.In this article the author discusses the principles leading Mr. Gonseth in his search of geometry and the problem of the space. The following books of Mr. Gonseth are consulted:I. La déduction préalable. II. Les trois aspects de la Géométrie. III. L'Edification axiomatique.Mr. Gonseth argues that—before attempting to solve the problem of geometry—we must avail ourselves of the faculties of intuition and deduction, and of an experimental knowledge of the space.The author Mr. Tummers has published three brochures on geometry:1° De Opbouw der Meetkunde 1941. 2° De Meetkunde en de Ervaring 1949. 3° Wijsgerige Verantwoording van het Paralelenpostulaat 1951.The author defends the thesis that a science from which experience is excluded cannot exist.In the third brochure the author demonstrates that the proposition of the parallels is not a thesis which can be deduced, but a true postulate. The author, exactly as Mr. Gonseth, supposes in his research the experience and the faculties of intuition and deduction.The author concludes that Mr. Gonseth, when defending that experience and the faculties of intuition and deduction are indispensable for the construction of geometry, proves a thesis of great and fundamental importance.The author tries to build up an abstract geometry but directed by experience, Hilbert introduces a geometry, entirely abstract, whereas excluding the experience as instrument of supervision. (shrink)

D’un point de vue patrimonial, le célèbre texte des Éléments de géométrie de Clairaut, publié la première fois en 1741, est traditionnellement considéré comme le début d’une riche histoire plutôt que son aboutissement, en raison notamment du succès considérable qu’il a eu dès sa parution et de la manière dont Clairaut en a défendu le projet, en rupture apparente avec le modèle euclidien. Nous proposons ici une image un peu différente qui s’appuie sur la nature très particulière de la (...) production géométrique foisonnante dans laquelle le traité de Clairaut s’insère et doit être compris. Nous présentons tout d’abord le côté paradoxal de l’ouvrage, qui revendique non seulement une grande originalité mais aussi une non moins grande conformité au genre des « éléments » de géométrie spéculative. Nous indiquons ensuite cinq raisons majeures qui montrent que le texte était en effet largement conforme aux attendus de l’époque, y compris dans sa revendication d’accessibilité et de rupture vis-à-vis du modèle euclidien. Nous dégageons deux originalités de l’ouvrage : le fait de confondre les caractéristiques des géométries spéculatives et pratiques dans un seul et même ouvrage ; et le fait d’écrire un ouvrage de géométrie suivant un « ordre analytique », mais sans algèbre. (shrink)

Les architectures molles, sculptées, transparentes, immatérielles prétendent se libérer des contraintes géométriques, comme si la géométrie ne revendiquait que la droite et la forme orthogonale ou le cercle! Certains architectes s'abandonnent aux " hasards " informatiques et construisent des édifices à la géométrie chahutée par un logiciel. Des urbanistes opposent encore le plan radioconcentrique au plan en damier en ce qui concerne l'expansion des villes et, refusant d'imaginer d'autres morphologies, laissent faire la promotion immobilière, les opportunités foncières et (...) le chacun pour soi. La géométrie, dans notre culture marquée par la philosophie grecque, est constitutive et de l'architecture et de l'urbanisme. Elle est mise en débat par le jeu extraordinairement varié des formes et de leurs agencements, aussi bien que par des régulations qui donnent une mesure au monde et suscitent des questionnements quant à ce qui est à la mesure de l'existence. Depuis le simple pas jusqu'aux théories les plus sophistiquées, la géométrie - qui n'a jamais cessé de se complexifier depuis Pythagore ou Euclide jusqu'aux géométries algébrique, infinitésimale et variable - se rappelle à nous. C'est ce rappel qu'il nous faut entendre, comme une invitation à penser aussi bien notre corps que le paysage, aussi bien la maison que la ville et la cité. Cet ouvrage collectif veut questionner géométriquement et philosophiquement l'urbain contemporain et les architectures qu'il provoque. En d'autres termes, il espère saisir à partir de la confrontation entre mathématiciens, géomètres, historiens, architectes, urbanistes, paysagistes et philosophes l'expérience existentielle de l'espace-temps des lieux. (shrink)

L’article a pour but d’analyser la conception de la géométrie et de la mesure présentée dans Intuition et Raisonnement [Hölder 1900], « Les axiomes de la grandeur et la théorie de la mensuration » [Hölder 1901] et La Méthode mathématique [Hölder 1924]. L’article examine les relations entre a) la démarcation introduite par Hölder entre géométrie et arithmétique à partir de la notion de ‘concept donné’, b) sa position philosophique par rapport à l’apriorisme kantien et à l’empirisme et c) (...) le choix du postulat de la continuité de Dedekind parmi les axiomes de la théorie des grandeurs. L’article montre que les choix faits au niveau axiomatique sont reliés au cadre épistémologique et que l’originalité de Hölder consiste surtout dans son analyse au cas par cas des procédures déductives en mathématiques. (shrink)

« Les sciences s’éloignent de plus en plus de leur motivation première, d’une part parce qu’elles s’enferment dans leurs spécialisations respectives, de l’autre, parce qu’elles se réduisent à une pratique utilitariste ou purement calculatoire. Il faudrait s’employer à réhabiliter une pensée exigeante et transversale capable de repérer les similitudes à l’œuvre dans les disciplines et les phénomènes les plus différents. La compréhension spatiale et temporelle des phénomènes est le dénominateur commun capable de les unifier, tout en en reconnaissant les différences (...) significatives. Dans cette perspective, les mathématiques, et plus particulièrement la géométrie et la topologie qui expriment une pensée qualitative riche et complexe, doivent acquérir à nouveau un rôle fondamental qui, abandonnant toute prétention d’exclusivité ou de supériorité par rapport aux autres formes de connaissance, renoue sur les plans heuristique et imaginatif avec la philosophie, les sciences de la nature et les études sur la société. Le principal propos d’une philosophie de la nature me semble être de clarifier les interactions entre espace et temps, matière et forme, corps et esprit. De nombreux phénomènes physiques et naturels, y compris plusieurs processus biologiques, peuvent être compris en termes de déploiement d’un noyau géométrique initial qui crée en quelque sorte un espace-temps spécifique aux propriétés caractéristiques. Sans épuiser la signification de ces phénomènes et processus, ce noyau constitue plutôt une vision spectrale incluant leurs divers modes d’organisation et de manifestation. ». (shrink)

Les conceptions de Poincaré en matière de physique mathématique demandent à être mises en relation avec son travail mathématique. Ce qu’on a appelé son « conventionnalisme géométrique » est étroitement lié à ses premiers travaux mathématiques et à son intérêt pour la géométrie de Plücker et la théorie des groupes continus de Lie. Sa conception profonde de l’espace et son insertion dans un environnement post-kantien concourent à composer les traits d’une doctrine dont on a souvent sous-estimé l’originalité, dans ses (...) différences avec celle de Riemann.It is necessary to link the philosophical conceptions of Poincaré to his mathematical work. What has been named his « geometrical conventionalism » is closely tied to his first mathematical works and to his interest in Plücker’s geometry and in the theory of continuous groups of Lie. His profound conception of space and the immersion in the post-Kantian tradition are the specific features of a doctrine greatly original, different in many respects from the Riemannian doctrine. (shrink)

Le commentaire que propose Merleau-Ponty de L’origine de la géométrie de Husserl en 1960 accorde une place privilégiée au langage, à l’écrit : l’étonnement peut être grand de voir Merleau-Ponty, dans la continuité de Husserl, penser la genèse de l’idéalité géométrique à partir d’une méditation sur la littérature. La réflexion de Merleau-Ponty sur la littérature a pris un tour ontologique décisif au début des années cinquante, dans le long commentaire de Proust notamment en 1953-1954. C’est dans cet esprit que (...) le cours de 1960 accorde à la littérature un sens ontologique : l’idéalité géométrique ne peut advenir comme idéalité que par passage à la parole et à l’écrit, mais le sens même de l’idéalité scientifique ne peut se comprendre que si on la replace sur fond d’idéalités plus fondamentales que la littérature précisément dévoile, idéalités qui se nouent à travers le temps, dans le lien entre le passé et le présent, moi et l’autre. La littérature éclaire l’histoire de la géométrie d’une autre manière encore : elle met au jour l’entrelacement homme-langage-monde, condition d’émergence d’un sens vrai, qui advient dans l’histoire de la géométrie, et que la littérature, assumant notre être de parole, porte plus fondamentalement encore.The commentary Merleau-Ponty offers in 1960 on Husserl’s The Origin of Geometry gives a privileged place to language, to writing: it is perhaps a great astonishment to see Merleau-Ponty, in continuity with Husserl, thinking about the genesis of geometrical ideality beginning from a meditation on literature. Merleau-Ponty’s reflection on literature took a decisive ontological turn at the beginning of the 1950s, notably in the long commentary on Proust in 1953-1954. It is in this spirit that the course of 1960 grants to literature an ontological sense: the ideality of geometry can occur as ideality by the passage to speech and to writing, but the meaning of even scientific ideality can be understood only if one places it on the basis of more fundamental idealities that literature precisely reveals, idealities that are linked across time, in the connection between past and present, self and other. Literature clarifies the history of geometry in yet another manner: it brings to light the intertwining of human-language-world, condition of the emergence of a true sense, which occurs in the history of geometry, and which literature, assuming our being in speech bears more fundamentally still.Il commento de L’origine della geometria di Husserl proposto da Merleau-Ponty nel 1960 accorda un posto privilegiato al linguaggio, alla scrittura. Ci si potrebbe stupire del fatto che Merleau-Ponty, nel solco di Husserl, pensi l’idealità geometrica a partire da una riflessione sulla letteratura. Il pensiero di Merleau-Ponty sulla letteratura ha assunto un’inflessione ontologica decisiva all’inizio degli anni Cinquanta, in particolare nel lungo commento a Proust del 1953-1954. È proprio prolungando questa linea che il corso del 1960 attribuisce alla letteratura un senso ontologico: l’idealità geometrica diviene idealità proprio nel passaggio dalla parola allo scritto, ma il senso stesso dell’idealità scientifica può essere compreso solo se ricollochiamo quest’ultima su quello sfondo di idealità più fondamentali che la letteratura ci rivela, idealità che si instaurano attraverso il tempo, nel legame tra il passato e il presente, l’io e l’altro. Infine, è in un altro modo ancora che la letteratura illumina la storia della geometria: essa ci consente di illuminare l’intreccio uomo-linguaggio-mondo, condizione di emergenza di un senso vero, che si attesta nella storia della geometria e che la letteratura, in quanto essa assume il nostro essere già da sempre implicati con la parola, reca con sé in modo ancora più fondamentale. (shrink)

Au Moyen Âge, les rapports entre savoirs théorique et pratique dans la mesure des champs sont difficiles à appréhender. L’article examine d’une part l’évolution de la géométrie depuis les premiers traités de l’époque carolingienne jusqu’à l’apparition de la geometria practica, puis l’évolution de ce dernier genre, d’autre part la pratique effective des mesureurs telle qu’on la reconstitue à partir d’une documentation évasive. On observe que les techniques de mesure ne relèvent jamais de la géométrie savante, euclidienne ou pratique, (...) malgré les tentatives de quelques savants à partir du xiii e siècle. (shrink)